리만 곡면

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1. 개요

리만 곡면은 복소 차원이 1인 복소다양체 또는 2차원 유향 등각다양체로 정의된다. 이는 복소 구조 또는 등각 구조를 갖춘 매끄러운 다양체이며, 복소 평면, 리만 구, 원환면 등이 그 예시이다. 리만 곡면은 해석학 또는 대수기하학의 방법으로 연구할 수 있으며, 푸앵카레-쾨베 균일화 정리에 따라 리만 구, 복소 평면, 열린 원판 중 하나와 등각적으로 동등하다. 리만 곡면은 보편 덮개의 유형에 따라 타원, 포물선, 쌍곡선으로 분류되며, 자기동형군과 리만 곡면 사이의 사상, 함수 공간의 퇴화 여부에 따라 분류될 수 있다. 관련 정리로는 분기 정리, 후르비츠 자기사상 정리, 리만 곡면에 대한 항등 정리, 리만-로흐 정리, 리만-후르비츠 공식 등이 있다.

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리만 곡면
정의
정의	일차원 복소 다양체
예시
예시	복소평면 (C) 리만 구 복소 대수 곡선
성질
성질	등각 사상 복소 구조
역사
역사	베른하르트 리만에 의해 도입됨

2. 정의

리만 곡면은 복소 차원이 1인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 매끄러운 다양체이다.^[1]

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(orientable conformal manifold^영어)로 정의할 수 있다. '''등각 계량'''(conformal metric^영어)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 2차원에서, 향이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.^[2]

리만 곡면에 대한 몇 가지 동등한 정의는 다음과 같다.

# 리만 곡면 ''X''는 연결된 복소다양체이며, 복소 차원은 1이다. 이는 ''X''가 연결된 하우스도르프 공간이며, 복소 평면의 열린 단위 원판으로의 아틀라스가 부여되었음을 의미한다. 즉, 모든 점 에 대해 복소 평면의 열린 단위 원판과 위상동형인 ''x''의 근방이 있으며, 두 중첩된 차트 사이의 전이 사상은 정칙이어야 한다.^[1]

# 리만 곡면은 (실수) 2차원의 방향성을 갖는 다양체이며, 즉 양면 곡면이며, 등각 구조와 함께 정의된다. 다시 말해, 다양체는 ''X''의 임의의 점 ''x''에서 국소적으로 공간이 실수 평면의 부분 집합과 위상동형임을 의미한다. "리만"이라는 수식어는 ''X''가 다양체에서 각도 측정을 가능하게 하는 추가적인 구조, 즉 소위 리만 계량의 동치류가 부여되었음을 의미한다. 이러한 두 계량은 그들이 측정하는 각도가 같으면 동치로 간주된다. ''X''에서 계량의 동치류를 선택하는 것이 등각 구조의 추가적인 데이터이다.

복소 구조는 복소 평면에 주어진 표준 유클리드 계량을 선택하고 이를 차트를 통해 ''X''로 전송하여 등각 구조를 생성한다. 등각 구조가 복소 구조를 결정함을 보이는 것은 더 어렵다.^[2]

''X''를 연결된 하우스도르프 공간이라고 한다. 열린 부분 집합 ''U'' ⊆ ''X''와 ''U''에서 '''C'''의 부분 집합으로의 위상 동형 사상 의 짝 (''U'', )을 '''좌표 근방'''이라고 한다.

두 국소 좌표 (''U'', )와 (''V'', )에 대해 ''U'' ∩ ''V'' ≠ ∅인 경우, 좌표 변환 와 이 각 정의역에서 정칙일 때, 좌표 근방 (''U'', )와 (''V'', )는 '''양립 가능'''하다고 한다.

''A''가 양립 가능한 좌표 근방의 집합이고, 임의의 가 ''A''의 어떤 ''U''에 포함될 때, ''A''를 '''좌표 근방계'''라고 한다. ''X''에 좌표 근방계 ''A''가 주어졌을 때, (''X'', ''A'')를 '''리만 곡면'''이라고 한다.

다른 좌표 근방계여도 ''X''상에서 본질적으로 동일한 리만 곡면의 구조를 유발할 수 있다. 따라서 모호성을 배제하기 위해, ''X''상에 주어진 좌표 근방계는 다른 좌표 근방계에 포함되지 않는다는 의미에서 극대임을 요구하는 경우가 있다. 초른의 보조정리에 의해, 임의의 좌표 근방계 ''A''는 유일하게 결정되는 극대 좌표 근방계에 포함된다.

3. 예제

복소평면과 리만 구는 리만 곡면의 대표적인 예시이다.
주어진 리만 곡면의 열린집합은 그 자체로 리만 곡면을 이룬다.
콤팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 동등하다.
2-원환면 ''T''²는 $\mathbb{C} / (\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})$ 형태의 다양한 리만 곡면 구조를 가질 수 있으며, 여기서 ''τ''는 비실수 복소수이다. 이들은 '''타원 곡선'''이라고 불린다.
해석적 연속을 통해 비콤팩트 리만 곡면의 중요한 예시들을 얻을 수 있다.

3. 1. 복소 평면

복소평면 '''C'''는 가장 기본적인 리만 곡면이다. 항등 사상 ''f''(''z'') = ''z''가 '''C'''의 좌표 근방을 정의하고, {''f''}가 '''C'''의 좌표 근방계이다. 복소 공액 사상 ''g''(''z'') = ''z''^*도 '''C'''의 좌표 근방을 정의하고 {''g''}는 ''C''의 좌표 근방계가 된다. 좌표 근방 ''f''와 ''g''는 양립적이지 않으므로, 두 개의 서로 다른 리만 면의 구조를 가져온다.^[1]

마찬가지로, 복소 평면의 임의의 열린집합은 자연스럽게 리만 면으로 간주할 수 있다. 게다가, 리만 면의 임의의 열린집합은 리만 면이다.^[1]

3. 2. 리만 구

복소평면에 무한대를 추가하여 얻어지는 콤팩트 리만 곡면이다. 사영 직선으로도 설명할 수 있다.

2-구 ''S''²는 '''리만 구'''라고 불리는 고유한 리만 곡면 구조를 갖는다. 북극 또는 남극에서 스테레오 투영을 통해 복소 평면과 동일시되는 두 개의 열린 부분 집합을 갖는다.

: '''C''' ↪ ''S''² ↩ '''C'''.

이 두 열린 집합의 교집합에서, 하나의 임베딩을 다른 임베딩의 역함수와 합성하면 다음과 같다.

: '''C'''^× → '''C'''^× : ''z'' ↦ ''z''⁻¹.

이 전이 맵은 정칙적이므로, 이 두 임베딩은 ''S''²에 리만 곡면 구조를 정의한다. 집합으로, ''S''² = '''C''' ∪ {∞}이다. 리만 구는 사영 직선 '''CP'''¹ = ('''C'''² ∖ {0}) / '''C'''^×로 또 다른 설명을 갖는다.

''S'' = '''C''' ∪ {∞}라고 두고, $z \in S \setminus \{\infty\}$ 에 대해 ''f''(''z'') = ''z''라고 두고, $z \in S \setminus \{0\}$ 에 대해 ''g''(''z'') = 1 / ''z''라고 두고, 1/∞를 0으로 정의한다. 그러면, ''f''와 ''g''는 좌표 근방이고, 서로 양립적이며, { ''f'', ''g'' }는 ''S''의 좌표 근방계를 이루고, ''S''는 리만 면이 된다.

:

S = \{ \; (z,w) \in P(C)  \; | \; zw - 1 = 0 \;\}

이 특별한 리만 면은, 구면을 복소 평면으로 감쌌다고 해석할 수 있기 때문에, '''리만 구'''라고 한다. 복소 평면과 달리, 리만 구는 콤팩트 공간이다.

3. 3. 원환면

2-원환면는 complex number|복소수^영어 ''τ''에 대해

\C/(\Z+\tau\Z)

형태의 서로 다른 리만 곡면 구조를 가지며, 이들을 '''타원 곡선'''이라고 한다. 복소 평면을 격자로 나눈 몫공간으로, 다양한 복소 구조를 가질 수 있으며, 타원 곡선과 관련이 있다.

3. 4. 대수 곡선

콤팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 같다. 상수 함수가 아닌 유리형 함수의 존재는 임의의 콤팩트 리만 곡면이 사영 다형체임을 보여주기 위해 사용될 수 있다. 즉, 사영 공간 내부의 다항식으로 주어질 수 있다.

P^영어(x, y)가 두 변수의 복소수 다항식일 때, 그 영점 궤적

: ⊆ '''C'''²

는 이 궤적에 ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0인 점이 없으면 리만 곡면을 정의한다(또는 그러한 점을 포함하지 않는 열린집합으로 제한한다).^[1] 이것은 대수 곡선의 한 예이다.^[1]

마찬가지로, 종수 ''g'' 곡면은 (의 콤팩트화)와 같은 리만 곡면 구조를 가진다.^[1] 초타원 곡선

: ''y''² = ''Q''(''x''),

여기서 ''Q''는 위에서 특이점이 없는 차수 의 복소수 다항식이다.^[1] 일 때, 종수 ''g''의 다른 리만 곡면 구조가 있다.^[1]

모든 타원 곡선은 궤적(의 콤팩트화)으로 주어진 대수 곡선이다.^[1]

: ''y''² = ''x''³ + ''ax'' + ''b''

어떤 복소수 ''a''와 ''b''에 대해 ''τ''에 따라 달라진다.^[1] 점 는 로 보내지며, 여기서 ℘은 바이어슈트라스 타원 함수이다.^[1]

4. 해석학 대 대수학

콤팩트 리만 곡면은 해석학 또는 대수기하학의 방법으로 연구할 수 있다. 콤팩트 리만 곡면은 사영 다양체이며, 복소 사영 3-공간에 몰입될 수 있다. 비상수 메로모픽 함수의 존재는 콤팩트 리만 곡면이 대수적임을 보인다.^[3] 리만 곡면의 이러한 특징 덕분에 해석 또는 대수기하학의 방법으로 곡면을 연구할 수 있다.

예를 들어 원환면 ''T'' := C / (Z + τZ)^영어을 고려하면, 격자 Z + τZ^영어에 속하는 바이어슈트라스 타원함수 ℘_''τ''(''z'')는 ''T''에 대한 메로모픽 함수이다. 이 함수와 그 도함수 ℘_''τ''′(''z'')는 ''T''의 함수체를 생성한다. 다음 방정식이 존재한다.

: $[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,$

여기서 계수 ''g''₂ 및 ''g''₃는 ''τ''에 의존하며, 이는 대수 기하학적 의미에서 타원 곡선 ''E''_''τ''를 제공한다. 이것을 역으로 하는 것은 j-불변량 ''j''(''E'')에 의해 이루어지며, 이것은 ''τ''를 결정하는 데 사용될 수 있고, 따라서 원환면을 결정할 수 있다.

5. 리만 곡면의 분류

모든 리만 곡면은 보편 덮개에 따라 타원, 포물선, 쌍곡선 리만 곡면으로 분류된다. 기하학적으로는 단면 곡률의 부호에 따라 분류된다. 즉, 연결된 모든 리만 곡면 $X$ 는 일정한 곡률 $-1, 0$ 또는 $1$ 을 갖는 독특한 완비 2차원 실수 리만 계량을 갖는다.

푸앵카레-쾨베 균일화 정리에 따르면, 모든 단순 연결 리만 곡면은 다음 중 하나와 등각적으로 동형이다.

리만 구 $\widehat{\mathbb{C}} := \mathbb{C} \cup\{\infty\}$
복소 평면 $\mathbb C$
열린 원판 $\mathbb D := \{z \in \mathbb C : |z| < 1\}$ (이는 상반평면과 동형이다.)

5. 1. 타원 리만 곡면

리만 구

\mathbb{P}^1(\mathbb{C})

가 유일한 타원 리만 곡면의 예시이다. 이는 쌍정사적 변환에 의해 자유롭고 적절하게 불연속적으로 작용하는 군이 없기 때문이며, 따라서 그 보편 피복이

\mathbb{P}^1(\mathbb{C})

와 동형인 모든 리만 곡면은 그 자체로 동형이어야 한다.

5. 2. 포물 리만 곡면

복소 평면 '''C'''와 보편 덮개가 동형인 리만 곡면은 다음 중 하나와 동형이다.

'''C''' 자체
몫 '''C'''/'''Z'''
몫 '''C'''/('''Z'''+''τ'''''Z''') (단, ''τ'' ∈ '''C''', Im(''τ'') > 0)

위상수학적으로 평면, 원기둥, 원환면의 세 가지 유형만 존재한다. 앞의 두 경우(포물형)는 리만 곡면 구조가 고유하지만, 세 번째 경우에서 매개변수 ''τ''를 변경하면 동형이 아닌 리만 곡면이 생성된다. 매개변수 ''τ''에 의한 설명은 "표시된" 리만 곡면의 타이히뮐러 공간을 제공한다. (리만 곡면 구조 외에도 "표시"의 위상적 데이터를 추가하는데, 이는 원환면으로의 고정된 동형사상으로 볼 수 있다.) 분석적 모듈라이 공간을 얻으려면 (매핑 클래스 군에 의해) 타이히뮐러 공간의 몫을 취한다. 이 경우 모듈러 곡선이 된다.

5. 3. 쌍곡 리만 곡면

상반평면을 푸흐시안 군으로 나눈 몫공간은 쌍곡 리만 곡면이라고 불리며, 이는 곡면에 대한 푸흐시안 모델이라고도 한다.^[1] 토러스와 구를 제외한 모든 가향 곡면은 쌍곡 리만 곡면이 될 수 있다.^[1]

특히, 콤팩트 쌍곡 리만 곡면의 경우, 그 위상적 유형은 종수 ''g'' ≥ 2 에 의해 설명된다.^[1] 이 경우, 타이히뮐러 공간과 모듈라이 공간은 (6''g'' − 6)차원이다.^[1] 유한 유형의 리만 곡면(닫힌 곡면에서 유한한 수의 점을 뺀 것과 위상 동형)에 대한 유사한 분류도 가능하다.^[1] 그러나 무한 위상 유형의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 일반적으로 이러한 설명을 허용하기에는 너무 크다.^[1]

6. 성질

모든 2차원 가향 매끄러운 다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영 공간은 향을 줄 수 없으므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 구, 평면은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 매끄러운 다양체는 보통 여러 가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 '''모듈라이 공간'''이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈라이 공간은 $\mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ 이다. 종수가 $g>1$ 인 경우, 모듈라이 공간의 차원은 $3g-3$ 이다.

리만 곡면은 복소다양체이므로 실수 다양체로서 가향이다.

6. 1. 리만 곡면의 자기동형사상

종수 0:

:** 리만 구면의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.

:** 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기 동형 사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.

:** 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기 동형 사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환

\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)

이다.

:** 원환(annulus^영어)

\{a<|z|<1\}

의 자기 동형 사상은 회전

z\mapsto\exp(i\theta)z

또는 반전

z\mapsto a/z

이다. 이 사실은 프리드리히 쇼트키(Friedrich Hermann Schottky^de)가 1877년에 증명하였다.^[9]

종수 1:

:** 대부분의 복소 원환면의 자기동형군은 평행이동

U(1)\times U(1)

과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기 동형 사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기 동형 사상을 이룬다.^[10]

종수 $g\ge2$ 인 경우, 자기동형군은 유한군이며, 그 크기는 $84(g-1)$ 이하이다. 이를 '''후르비츠 자기동형사상 정리'''라고 하며, 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz^de)가 증명하였다.

7. 리만 곡면 사이의 사상

복소 다양체 간의 사상과 마찬가지로, 두 리만 곡면 ''M''과 ''N'' 사이의 함수는 ''M''의 아틀라스에 있는 모든 차트 ''g''와 ''N''의 아틀라스에 있는 모든 차트 ''h''에 대해, 사상 가 ('''C'''에서 '''C'''로의 함수로서) 정의된 모든 곳에서 정칙이면 '정칙'이라고 한다. 두 정칙 함수의 합성은 정칙 함수이다.

두 리만 곡면 ''M''과 ''N''은 ''M''에서 ''N''으로의 전단사 정칙 함수가 존재하고, 그 역함수 또한 정칙일 경우 (후자의 조건은 자동적으로 충족되므로 생략할 수 있다) ''쌍정칙''(또는 등각적 관점을 강조하기 위해 '등각 동치')이라고 한다. 두 등각 동치 리만 곡면은 사실상 동일하다.

모든 비콤팩트 리만 곡면은 비상수 정칙 함수(값을 '''C'''에 갖는)를 허용한다. 모든 비콤팩트 리만 곡면은 슈타인 다양체이다. 반면, 콤팩트 리만 곡면 ''X''에서는 최대 절댓값 원리에 따라 '''C''' 값을 갖는 모든 정칙 함수는 상수 함수이다. 그러나 비상수 메로모픽 함수(리만 구 값을 갖는 정칙 함수)는 항상 존재한다.

기하학적 분류는 리우빌 정리와 피카르의 소정리에 설명되어 있듯이, 리만 곡면 사이의 사상에 반영된다. 쌍곡형에서 포물형, 타원형으로의 사상은 쉽지만, 타원형에서 포물형으로 또는 포물형에서 쌍곡형으로의 사상은 매우 제한적이다(사실, 일반적으로 상수이다!).

7. 1. 구멍 뚫린 구면

다음은 구멍의 개수에 따라 리만 구면의 유형을 고려하여 설명한 것이다. 구멍이 없으면 타원형인 리만 구가 된다. 구멍이 하나 있으면, 무한대에 위치할 수 있으며 포물선형인 복소평면이 된다. 구멍이 두 개 있으면, 포물선형인 구멍 뚫린 평면, 환면, 또는 원통이 된다. 구멍이 세 개 이상이면 쌍곡선형이 된다. 바지를 참고하라. 지수 함수를 통해 구멍 하나에서 두 개로 매핑할 수 있다(전체 함수이며 무한대에서 본질적 특이점을 가지므로, 무한대에서 정의되지 않고, 0과 무한대를 제외한다). 그러나 구멍이 0개에서 1개 이상으로, 또는 구멍이 1개 또는 2개에서 3개 이상으로 가는 모든 매핑은 상수이다.

7. 2. 분지 피복 공간

콤팩트 리만 곡면은 더 낮은 종수의 곡면으로 사상될 수 있지만, 상수 함수를 제외하고는 더 높은 종수의 곡면으로는 사상될 수 없다. 이는 정수 ''n''에 대해 정칙 함수와 유리형 함수가 국소적으로 ''z'' ↦ ''z''^''n''과 같이 동작하기 때문이며, 따라서 비상수 함수는 분지 피복 사상이고, 콤팩트 리만 곡면의 경우 이는 대수적 위상수학의 리만-후르비츠 공식에 의해 제한되며, 이 공식은 공간의 오일러 지표와 분지 피복 사이의 관계를 나타낸다.

예를 들어, 쌍곡 리만 곡면은 구의 분지 피복 공간이다 (비상수 유리형 함수를 가짐). 하지만 구는 상수 함수를 제외하고는 더 높은 종수의 곡면을 피복하거나 다른 방식으로 사상하지 않는다.

8. 리만 곡면의 등거리 변환

균등화된 리만 곡면의 등거리 변환군(정형 자기 동형 사상군)은 그 기하학을 반영한다.

종수 0 – 구의 등거리 변환군은 복소선의 투영 변환에 대한 뫼비우스 군이다.
평면의 등거리 변환군은 무한대를 고정하는 부분군이며, 뚫린 평면의 등거리 변환군은 무한대와 0을 포함하는 집합을 불변으로 유지하는 부분군이다. 즉, 둘 다 고정하거나, 서로 바꾼다(''1/z'').
상반 평면의 등거리 변환군은 실수 뫼비우스 군이다. 이것은 원판의 자기 동형 사상군과 켤레이다.
종수 1 – 토러스의 등거리 변환군은 일반적으로 평행 이동(아벨 다양체로)이지만, 정사각 격자와 육각 격자는 90° 및 60° 회전에 의한 추가 대칭을 갖는다.
종수 ''g'' ≥ 2의 경우, 등거리 변환군은 유한하며, 후르비츠의 자기 동형 사상 정리에 의해 차수가 최대 84(''g'' − 1)이다. 이 경계를 실현하는 곡면을 '''후르비츠 곡면'''이라고 한다.
모든 유한군은 어떤 리만 곡면의 전체 등거리 변환군으로 실현될 수 있다는 것이 알려져 있다.^[4]
종수 2의 경우, 차수는 차수가 48인 볼차 곡면에 의해 최대화된다.
종수 3의 경우, 차수는 차수가 168인 클라인 4차 곡선에 의해 최대화된다. 이것은 첫 번째 후르비츠 곡면이며, 그 자기 동형 사상군은 차수가 168인 유일한 단순군과 동형이다. 이 군은 PSL(2, 7) 및 PSL(3, 2)와 동형이다.
종수 4의 경우, 브링 곡면은 매우 대칭적인 곡면이다.
종수 7의 경우, 차수는 차수가 504인 맥베스 곡면에 의해 최대화된다. 이것은 두 번째 후르비츠 곡면이며, 그 자기 동형 사상군은 PSL(2, 8), 즉 네 번째로 작은 비 아벨 단순군과 동형이다.

9. 함수론적 분류

함수론적 분류는 함수 공간의 퇴화 여부에 따라 리만 곡면을 분류하는 방법이다. 기하학적 분류와 함수론적 분류는 다를 수 있다.^[5]^[6]

복소해석학자들은 보통 리만 곡면을 함수론적으로 분류한다. 이 분류에서는 "포물선형"과 "쌍곡선형"이라는 용어를 다른 의미로 사용한다. 어떤 리만 곡면 위에 비상수 음의 부분조화 함수가 존재하지 않으면 '포물선형'이라고 하고, 그렇지 않으면 '쌍곡선형'이라고 한다. 쌍곡선형 곡면은 음의 부분조화 함수 외에 다른 함수 공간이 퇴화되는지에 따라 더 세분화된다. 예를 들어, 모든 유계 정칙 함수가 상수이거나, 모든 유계 조화 함수가 상수이거나, 모든 양의 조화 함수가 상수인 리만 곡면 등으로 나눌 수 있다.^[5]^[6]

혼동을 피하기 위해, 상수 곡률의 메트릭을 기반으로 하는 분류는 '기하학적 분류'라고 하고, 함수 공간의 퇴화를 기반으로 하는 분류는 '함수론적 분류'라고 한다. 예를 들어, "0과 1을 제외한 모든 복소수"로 구성된 리만 곡면은 함수론적 분류에서는 포물선형이지만, 기하학적 분류에서는 쌍곡선형이다.

10. 관련 정리

분기 정리
후르비츠 자기사상 정리
리만 곡면에 대한 항등 정리
리만-로흐 정리
리만-후르비츠 공식

참조

_[1] 문서 Farkas, Kra, 1980, Miranda, 1995
_[2] 문서 See Harvard citations
_[3] 웹사이트 KODAIRA'S THEOREM AND COMPACTIFICATION OF MUMFORD'S MODULI SPACE Mg http://faculty.tcu.e[...]
_[4] 서적 Discontinuous Groups and Riemann Surfaces: Proceedings of the 1973 Conference at the University of Maryland
_[5] 서적 Riemann Surfaces Princeton University Press
_[6] 서적 Principal Functions https://books.google[...] D. Von Nostrand Company, Inc.
_[7] 서적 複素関数入門岩波書店
_[8] 서적 Complex variables: introduction and applications Cambridge University Press
_[9] 서적 Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro American Mathematical Society
_[10] 저널 Automorphism groups of elliptic curves over ℂ http://math.arizona.[...] 2008-01-23

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